高木貞治『解析概論』 [sc] | レス55-106

62 2025/05/02(金) 19:26:56.68: 予備校の先生が書いた線形代数の本を読んでいるのだが、無駄な修飾語が多くて気になる。
目覚ましい応用、極めて明確に、もっとも著しい特徴、より濃密な考察などなど。
学生にとっては印象に残って勉強した気になるのかもしれないけど、我々にとっては論理の連鎖だけの方がいい。
脳内に無駄なノイズが入ってくる感覚だわ。

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63 2025/05/02(金) 19:31:31.76: 数学者の書いた線形代数の本読めよ

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64 2025/05/02(金) 19:35:01.40: というか、予備校講師の書いた本を読む意味が分からない
数学に興味があるなら数学者の書いた本を読むべきだし、物理や工学に興味があるなら、物理学者や工学者の書いた本を読むべき
予備校講師が書いた線形代数に何を求めてるの？

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65 2025/05/02(金) 19:39:33.85: 逆にいうと頭が高校生なんだろ

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66 2025/05/02(金) 19:44:22.30: >>63
読み始めたんで惰性で読んどった。
あと、長岡先生という人の本で、以前放送大学で講義してるところを見たことがあったんで。
人には薦めないな。

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67 2025/05/02(金) 20:15:31.52: オフコースの小田和正さんと同級生だった人ですね。
あんな人でも数学が得意な人という位置づけだったそうですね。

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68 2025/05/02(金) 21:02:54.87: 線形代数は特に本を丁寧に読まなくても
２点を通る直線と
３点を通る平面について
素心深考してみれば大体の見当はついてくる

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69 2025/05/02(金) 23:34:39.80: >>64
俺もどちらかというと議論がチャランポラン扱いされる幾何学系寄りな私文の学部卒止まりだけど
山本義隆マンセーするならアーノルドの解析力学の教科書を読むわ。

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70 2025/05/02(金) 23:35:53.14: >>68
天狗ザルの定理でしたっけ？

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71 2025/05/03(土) 00:02:15.79: >>69
学部卒止まりで幾何学寄りってどういうこと？
学部卒止まりならたとえ数学科卒業でも専門なんか無いだろう。

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72 2025/05/03(土) 06:30:27.84: 私文の学部卒って時点で意味不明

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73 2025/05/03(土) 09:18:48.55: マセマはなぜ批判されるの？

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74 2025/05/03(土) 09:21:01.14: >>70
ガウスの遺稿

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75 2025/05/03(土) 09:28:54.50: 文系の場合、計算中心の微積分と行列の授業があるならマシな方。
演習がついていることはほぼない。
ただでさえ苦手意識を持っている学生が多いのに、そんなんで身に付くわけがない。

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76 2025/05/03(土) 09:34:33.45: 近くの私立大では工学部より文系のほうが
数学の成績が良いそうだ

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77 2025/05/03(土) 09:51:06.94: 定員が埋まらない地方の工学部では、文系入試をやっているところもあるとか。
エンジニアとして卒業させていいんだろうか。
東大なんかは文系でもガンガン数学をやらせればいいと思う。
無理やりでも勉強させればマスターする脳ミソはあるだろ。
せっかく東大に入った以上、退学にはなりたくないだろうから、きっと必死で勉強するよ。

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78 2025/05/03(土) 13:33:22.32: 微分積分の教科書の書き方についてですが、まず複素微分を説明して、色々な複素関数の性質を説明した後で、実微分を紹介するというのはどうでしょうか？

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79 2025/05/03(土) 13:34:16.12: 実微分の特殊性を強調しながら、実微分積分学を展開する教科書というのも面白いかもしれませんよね。

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80 2025/05/03(土) 17:11:50.17: p進解析と並行してやってほしい

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81 2025/05/03(土) 18:35:49.76: Weierstrassの二重級数定理：

f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …)

は正則で、また F(z) = Σ_{n=0}^{∞} f_n(z) は |z - z_0| ≦ ρ （ρ は ρ < r なる任意の正数）なるとき、
一様に収束するとする。
然らば a_k^(0) + a_k^(1) + … + a_k^(n) + … = Σ_{n=0}^{∞} a_k^(n) = A_k は収束して、
|z - z_0| < r なるとき F(z) = Σ_{k=0}^{∞} A_k (z - z_0)^k.

上の定理において、「f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …) は正則」と仮定しているのはなぜでしょうか？
これはべき級数であるため、自動的に収束円内で正則になるのではないでしょうか？

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82 2025/05/03(土) 19:27:48.21: 消えろ

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83 2025/05/04(日) 10:12:57.44: 43. 絶対収束・条件収束

正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。

この証明が粗雑ですね。

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84 2025/05/04(日) 10:20:14.46: 『定本解析概論』のp.156に「広い意味で、加法の結合律が成り立つのである。」と書いてありますが、「交換律」ですよね。

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85 2025/05/04(日) 11:32:15.88: Σ a_n について考える。
Σ a_n は正項級数ではないとする。
Σ a_n が負項級数の場合には、正項級数の理論に帰着するから、負項級数でもないとする。
Σ a_n の負項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は正項級数の有限個の項を負項に変えて得られる級数だから、正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は負項級数の有限個の項を正項に変えて得られる級数だから、負項級数の理論に帰着する。負項級数の理論は正項級数の理論に帰着するから、この場合も結局正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数も負項の個数も無数にあるとする。
Σ a_n の第 i 番目の正項を p_i とする。
Σ a_n の第 i 番目の負項を -q_i とする。
Σ a_n が絶対収束する場合には、 Σ p_i ≦ Σ |a_n|, Σ q_i ≦ Σ |a_n| だから Σ p_i, Σ q_i ともに収束する。
p := Σ_{i=1}^{∞} p_i, q := Σ_{i=1}^{∞} q_i とする。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題を使うと、 Σ |a_n| = Σ p_i + Σ q_i が成り立つことが分かる。

ε を任意の正の実数とする。
n > N_p ならば、 |Σ_{i=1}^{n} p_i - p| < ε/2, n > N_q ならば、 |Σ_{i=1}^{n} q_i - q| < ε/2 が成り立つとする。
p_i = a_{φ(i)}, -q_i = a_{ψ(i)} とする。
N_1 := max {φ(1), φ(2), …, φ(N_p)}, N_2 := max {ψ(1), ψ(2), …, ψ(N_q)} とする。
n > max {N_1, N_2} ならば、 |Σ_{i=1}^{n} a_i - (p - q)| = |(Σ_{i=1}^{l} p_i - p) - (Σ_{i=1}^{m} q_i - q)|
≦ |Σ_{i=1}^{l} p_i - p| + |Σ_{i=1}^{m} q_i - q| < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

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86 2025/05/04(日) 11:32:29.17: 逆に、 Σ p_i, Σ q_i がともに収束するとする。
p_1, q_1, p_2, q_2, … という数列を (b_i) とする。
Σ_{i=1}^{n} b_i ≦ Σ p_i + Σ q_i だから Σ b_i は収束する。
数列 (b_i) を並べ替えれば数列 (|a_i|) が得られるから、
Σ |a_i| も収束して、 Σ |a_i| = Σ b_i が成り立つ。
よって、 Σ a_i は絶対収束する。
前半の議論から、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

以上の結果をまとめると、

「Σ a_n が絶対収束する ⇔ Σ p_i, Σ q_i が収束する」が成り立つ。
上のどちらかが成り立てば、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

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87 2025/05/04(日) 11:35:44.62: 43の条件収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

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88 2025/05/04(日) 11:36:14.84: 訂正します：

43の絶対収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

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89 2025/05/04(日) 12:19:16.23: 高木貞治さんは、 Σ p_i, Σ q_i が収束するときに、 Σ a_i が絶対収束することを証明していません。

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90 2025/05/04(日) 12:22:16.46: 高木貞治さんは、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

を証明するだけではなく、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、各部分級数が収束の場合、 Σa_n も収束する。」

も証明すべきだったということですね。

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91 2025/05/04(日) 12:33:31.61: 「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題ですが、有名なオイラー公式を証明するときに、 sin のパートと cos のパートに分けるときに必要になりますよね。

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92 2025/05/05(月) 14:10:50.40: 藤田宏先生の「大学での微分積分１、２」って、あまり話題にならないけど、どうなんだろう。
曲がりなりにも大物が書いた大著だが。

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93 2025/05/05(月) 14:11:48.55: つづきとして関数解析もある。

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94 2025/05/06(火) 16:19:08.89: リーマンの定理

　絶対収束しないが条件収束をする実数級数は、
項の順序をうまく変更することで、任意の実数値に収束するように、
（あるいは発散するようにも）変形できる。

こういうことを書いてある本をあまり見かけないようだった。

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95 2025/05/07(水) 19:13:49.29: 「45. 収束の判定法（条件収束）」のp.165に

「若干項の和は絶対値において (p + q) / (2 * n) よりも小である」と書いてありますが、これ間違っていますよね。

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96 2025/05/07(水) 19:18:37.48: >>94
今どきそんな定理を細かくやるよりももっと優先してやるべきことがある

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97 2025/05/07(水) 19:25:44.73: >>96

斎藤毅さんが同じことを書いていました。
ですが、そういうことを徹底していくと、本当につまらない本になってしまうと思います。

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98 2025/05/07(水) 19:27:20.46: >>95

についてですが、「1/n よりも小である」というのがもっとも自然な評価だと思います。

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99 2025/05/07(水) 19:29:39.38: 斎藤毅さんには、何のために数学を勉強するのか？と訊いてみたいです。

「次の数学の分野を勉強するため」としか考えていないのではないでしょうか？

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100 2025/05/07(水) 19:42:53.45: π が無理数であることの証明や e が超越数であることの証明などは書くべきだと思います。

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101 2025/05/07(水) 19:43:57.91: 『解析概論』は適度に遊びがあるところがいいと思います。

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102 2025/05/07(水) 19:47:40.62: >>100

Michael Spivakさんの本はやさしい入門書ですが、ちゃんと書いてあります。

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103 2025/05/08(木) 05:59:06.39: 226事件が起きた頃に書かれていたような本を批判していてもしかたがない。
まるでその後に解析学が進歩していなかったかのような印象をあたえる。

解析概論の数学のスタイルはいまとなってはとても古いと思う。
たとえば関数のクラス、Cn級の関数というような話がはっきりと
書かれていただろうか？

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104 2025/05/09(金) 20:00:44.29: 本来広い範囲の内容をカバーする講座ものの中の１冊だけを、
単独で売り続けることは少し考えものだと思う。なぜなら講座
もののうちの１冊であったときには、同じ講座もののなかの
それ以外の書籍を読者は参照したり、別途買ったりして読み得る
状況だったのに、時代が移ってそれらその本以外の書籍が手に
入らないかあるいは読者にとってそれら前提知識が何に書かれて
いるかあるいはそういう書籍の存在が容易に想像がつかない形で
売られてしまうからだ。
　高木貞二の本として、解析概論、代数学講義、初等整数論講義、
代数的整数論の４つが主だった数学書だろうと思うが、ではこれら
の４冊を読めば、それら全部が理解できるか、たとえば代数的整数論
に書かれている内容が把握できるかといえば断じてＮＯだ。たとえば
ガロア理論については他書を読んで理解していることを暗黙に前提と
して書かれていると思うが、本文中ではガロア理論についてはＸＸＸ
などを読むと良いというようなヒントとか指示はしていなかったと思う。
代数学講義にはアーベルの理論はその姿を概ね再現する形で出てはいて
も、ガロアの理論の解説にまでは至っていなかったと思う。