高木貞治『解析概論』 [sc] | レス37-88

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1 2025/05/01(木) 16:52:01.69

高木貞治『解析概論』

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37 2025/05/02(金) 09:27:48.26: >>36

その本は多変数のところを読んでいませんが、厳密なんですか？
もし、1変数の部分同様のクオリティならば読んでみたいのですが、多変数の部分の評判は芳しくないようです。

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38 2025/05/02(金) 09:32:03.51: 小平解析入門を名著という人の意見はよくわかりません
あの本のオリジナルの部分（初等函数をべき級数や複素積分によらずに構成しているところや、和と極限の順序交換の一様収束よりも緩い十分条件を与えているところ）は、ほとんど実用性がありません
そして、未定乗数法やベクトル解析などの他の多くの本に載っている重要事項が省略されてしまっています

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39 2025/05/02(金) 09:37:08.10: >>38

変わった本ではありますが、書かれている部分に関しては、ネチネチと極めて丁寧に書かれています。

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40 2025/05/02(金) 09:40:01.31: >>38

三角関数の定義の部分ですが、著者の考えでは発見的に書いているつもりなのでしょうが、ちょっと納得できません。

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41 2025/05/02(金) 09:42:25.07: >>34
難しいことはない

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42 2025/05/02(金) 09:55:58.79: 溝畑茂さんの本の良さが全く分かりません。

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43 2025/05/02(金) 09:56:54.28: わからなくても死なない

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44 2025/05/02(金) 09:58:32.73: >>38
ルベーグ積分をやれば済むことを無駄に詳細にやっている
副読書として「そういう話題もある」と楽しむ分にはいいが、メインの教科書にはならない

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45 2025/05/02(金) 09:59:56.84: >>36
Rudinは多変数の積分をコンパクト台をもつ連続関数に限定していて計算例がほとんどないから、初学者がこれを読んで重積分の広義積分を習得するのはまず不可能

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46 2025/05/02(金) 10:05:08.28: 溝畑の下巻は、素直に多様体と複素解析に進んだほうがいい
ただし陰関数定理は逐次近似法で短く証明していてよい

高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている

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47 2025/05/02(金) 10:06:46.40: 計算例は留数の場合は５つほど必要だが
重積分の場合は４つくらい

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48 2025/05/02(金) 10:07:26.04: >>46

＞高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている

これはそう思います。
巨匠気取りの人の本によくあることですが。

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49 2025/05/02(金) 10:07:54.33: ID:Ys+Z3aDPさん
施されるだけではなく与えることを覚えましょう
独り言ではなくコミュニケーションを覚えましょう

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50 2025/05/02(金) 10:08:48.41: 小平さんは台所で本を書いていたそうですね。
おそらく隠居老人の趣味で書いているだけですよね。
盆栽を育てている感覚だったのではないでしょうか。

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51 2025/05/02(金) 10:12:55.82: しょっちゅうエネルギー補給が必要だったからではないか

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52 2025/05/02(金) 10:20:18.38: >>9
小林微分積分読本も、
変数変換公式を有開閉領域の場合にしか示していないのに

∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞ exp(x^2 + y^2) dx dy
= ∫_0^2π ∫_0^∞ exp(r^2) r dr dθ

と断りなく変形しています

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53 2025/05/02(金) 10:24:44.46: >>52

小林さんはいい加減なので全く驚きません。

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54 2025/05/02(金) 10:47:16.97: いろいろと目を通してなさるのね

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55 2025/05/02(金) 10:57:26.46: >>52
一松信は、これちゃんと厳密に成り立つことを示してる
溝畑は、変数変換公式自体を、積分が絶対収束する場合にまで拡張している（ただ、ここまでやるならルベーグ積分でいい気はする）

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56 2025/05/02(金) 11:06:21.37: 参考書オタクの粗探し
本人はトリビアを披露して得意げ
はたから見たらみっともないだけ

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57 2025/05/02(金) 11:10:22.87: 宮島静雄は、見てないけど、「広義積分に対する変数変換」というそのまんまな節があるので、おそらく正確にやっているのでしょう

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58 2025/05/02(金) 11:13:16.37: 数学のスレは盛り上がらないのに、数学書のスレは大盛り上がり
どうせ買っただけで大して読んでないんだろ？（笑）

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59 2025/05/02(金) 12:38:38.18: 買ってもいないかもしれない

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60 2025/05/02(金) 16:35:29.36: 微分積分の現代化

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61 2025/05/02(金) 17:15:35.13: 微分積分いい気分

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62 2025/05/02(金) 19:26:56.68: 予備校の先生が書いた線形代数の本を読んでいるのだが、無駄な修飾語が多くて気になる。
目覚ましい応用、極めて明確に、もっとも著しい特徴、より濃密な考察などなど。
学生にとっては印象に残って勉強した気になるのかもしれないけど、我々にとっては論理の連鎖だけの方がいい。
脳内に無駄なノイズが入ってくる感覚だわ。

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63 2025/05/02(金) 19:31:31.76: 数学者の書いた線形代数の本読めよ

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64 2025/05/02(金) 19:35:01.40: というか、予備校講師の書いた本を読む意味が分からない
数学に興味があるなら数学者の書いた本を読むべきだし、物理や工学に興味があるなら、物理学者や工学者の書いた本を読むべき
予備校講師が書いた線形代数に何を求めてるの？

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65 2025/05/02(金) 19:39:33.85: 逆にいうと頭が高校生なんだろ

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66 2025/05/02(金) 19:44:22.30: >>63
読み始めたんで惰性で読んどった。
あと、長岡先生という人の本で、以前放送大学で講義してるところを見たことがあったんで。
人には薦めないな。

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67 2025/05/02(金) 20:15:31.52: オフコースの小田和正さんと同級生だった人ですね。
あんな人でも数学が得意な人という位置づけだったそうですね。

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68 2025/05/02(金) 21:02:54.87: 線形代数は特に本を丁寧に読まなくても
２点を通る直線と
３点を通る平面について
素心深考してみれば大体の見当はついてくる

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69 2025/05/02(金) 23:34:39.80: >>64
俺もどちらかというと議論がチャランポラン扱いされる幾何学系寄りな私文の学部卒止まりだけど
山本義隆マンセーするならアーノルドの解析力学の教科書を読むわ。

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70 2025/05/02(金) 23:35:53.14: >>68
天狗ザルの定理でしたっけ？

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71 2025/05/03(土) 00:02:15.79: >>69
学部卒止まりで幾何学寄りってどういうこと？
学部卒止まりならたとえ数学科卒業でも専門なんか無いだろう。

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72 2025/05/03(土) 06:30:27.84: 私文の学部卒って時点で意味不明

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73 2025/05/03(土) 09:18:48.55: マセマはなぜ批判されるの？

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74 2025/05/03(土) 09:21:01.14: >>70
ガウスの遺稿

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75 2025/05/03(土) 09:28:54.50: 文系の場合、計算中心の微積分と行列の授業があるならマシな方。
演習がついていることはほぼない。
ただでさえ苦手意識を持っている学生が多いのに、そんなんで身に付くわけがない。

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76 2025/05/03(土) 09:34:33.45: 近くの私立大では工学部より文系のほうが
数学の成績が良いそうだ

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77 2025/05/03(土) 09:51:06.94: 定員が埋まらない地方の工学部では、文系入試をやっているところもあるとか。
エンジニアとして卒業させていいんだろうか。
東大なんかは文系でもガンガン数学をやらせればいいと思う。
無理やりでも勉強させればマスターする脳ミソはあるだろ。
せっかく東大に入った以上、退学にはなりたくないだろうから、きっと必死で勉強するよ。

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78 2025/05/03(土) 13:33:22.32: 微分積分の教科書の書き方についてですが、まず複素微分を説明して、色々な複素関数の性質を説明した後で、実微分を紹介するというのはどうでしょうか？

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79 2025/05/03(土) 13:34:16.12: 実微分の特殊性を強調しながら、実微分積分学を展開する教科書というのも面白いかもしれませんよね。

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80 2025/05/03(土) 17:11:50.17: p進解析と並行してやってほしい

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81 2025/05/03(土) 18:35:49.76: Weierstrassの二重級数定理：

f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …)

は正則で、また F(z) = Σ_{n=0}^{∞} f_n(z) は |z - z_0| ≦ ρ （ρ は ρ < r なる任意の正数）なるとき、
一様に収束するとする。
然らば a_k^(0) + a_k^(1) + … + a_k^(n) + … = Σ_{n=0}^{∞} a_k^(n) = A_k は収束して、
|z - z_0| < r なるとき F(z) = Σ_{k=0}^{∞} A_k (z - z_0)^k.

上の定理において、「f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …) は正則」と仮定しているのはなぜでしょうか？
これはべき級数であるため、自動的に収束円内で正則になるのではないでしょうか？

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82 2025/05/03(土) 19:27:48.21: 消えろ

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83 2025/05/04(日) 10:12:57.44: 43. 絶対収束・条件収束

正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。

この証明が粗雑ですね。

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84 2025/05/04(日) 10:20:14.46: 『定本解析概論』のp.156に「広い意味で、加法の結合律が成り立つのである。」と書いてありますが、「交換律」ですよね。

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85 2025/05/04(日) 11:32:15.88: Σ a_n について考える。
Σ a_n は正項級数ではないとする。
Σ a_n が負項級数の場合には、正項級数の理論に帰着するから、負項級数でもないとする。
Σ a_n の負項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は正項級数の有限個の項を負項に変えて得られる級数だから、正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は負項級数の有限個の項を正項に変えて得られる級数だから、負項級数の理論に帰着する。負項級数の理論は正項級数の理論に帰着するから、この場合も結局正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数も負項の個数も無数にあるとする。
Σ a_n の第 i 番目の正項を p_i とする。
Σ a_n の第 i 番目の負項を -q_i とする。
Σ a_n が絶対収束する場合には、 Σ p_i ≦ Σ |a_n|, Σ q_i ≦ Σ |a_n| だから Σ p_i, Σ q_i ともに収束する。
p := Σ_{i=1}^{∞} p_i, q := Σ_{i=1}^{∞} q_i とする。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題を使うと、 Σ |a_n| = Σ p_i + Σ q_i が成り立つことが分かる。

ε を任意の正の実数とする。
n > N_p ならば、 |Σ_{i=1}^{n} p_i - p| < ε/2, n > N_q ならば、 |Σ_{i=1}^{n} q_i - q| < ε/2 が成り立つとする。
p_i = a_{φ(i)}, -q_i = a_{ψ(i)} とする。
N_1 := max {φ(1), φ(2), …, φ(N_p)}, N_2 := max {ψ(1), ψ(2), …, ψ(N_q)} とする。
n > max {N_1, N_2} ならば、 |Σ_{i=1}^{n} a_i - (p - q)| = |(Σ_{i=1}^{l} p_i - p) - (Σ_{i=1}^{m} q_i - q)|
≦ |Σ_{i=1}^{l} p_i - p| + |Σ_{i=1}^{m} q_i - q| < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

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86 2025/05/04(日) 11:32:29.17: 逆に、 Σ p_i, Σ q_i がともに収束するとする。
p_1, q_1, p_2, q_2, … という数列を (b_i) とする。
Σ_{i=1}^{n} b_i ≦ Σ p_i + Σ q_i だから Σ b_i は収束する。
数列 (b_i) を並べ替えれば数列 (|a_i|) が得られるから、
Σ |a_i| も収束して、 Σ |a_i| = Σ b_i が成り立つ。
よって、 Σ a_i は絶対収束する。
前半の議論から、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

以上の結果をまとめると、

「Σ a_n が絶対収束する ⇔ Σ p_i, Σ q_i が収束する」が成り立つ。
上のどちらかが成り立てば、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。