面白い問題おしえて〜な 二十問目 [sc](★0)
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- 2012/12/22(土) 13:17:38.28
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過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
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- 889
- 2015/05/06(水) 01:05:39.29
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後出しご苦労。
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- 890
- 2015/05/06(水) 01:06:31.66
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>>889
何が後出しなのかはっきりと言ってみ？ｗ
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- 891
- 2015/05/06(水) 01:07:46.31
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惨めな抵抗、お疲れ！
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- 893
- 2015/05/06(水) 01:22:27.68
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誤解のない表現の一例としては
座標面上の無限個の相異なる点からなる集合に属する任意の2点間の距離が整数であるという。
この集合に属する全ての点はある一直線上にあることを示せ。
かな。
あ、オレにはこの解は思いついてない。
これ真かどうかも知らないが
>>879が真っ当な回答の一つであることはよ〜く分るよ。
お前も、そうは思うだろ。
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- 894
- 2015/05/06(水) 01:25:04.22
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>>841はSの任意の相異なる3点が同一直線上にあることを示せばいいんだよね
うーん
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- 896
- 2015/05/06(水) 13:15:30.42
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対偶命題を考えれば、簡単に証明できるんじゃないのか？
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- 897
- 2015/05/06(水) 15:54:06.31
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>>841
異なる2つの双曲線の共有点が高々4個であることを示せばいい
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- 898
- 2015/05/06(水) 18:53:00.95
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結論通りじゃないなら、Sはとある格子上（したがってdiscrete）
まで考えたところで酒の時間だ
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- 899
- 2015/05/07(木) 04:29:49.85
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今気付いたのだけど、 >>841 の問題って、無限の理解が曖昧だと
うっかり間違った対偶をとって偽だと言ってしまいそうで怖いな。
次の命題が偽であることはわりと簡単に証明できるのだけど。
「座標平面上のn個の点からなるある集合Sが、
Sに属する任意の２点間の距離が整数であり、
なおかつSに属するすべての点を通る直線は存在しないという条件を満たすとき、
nの値には上界が存在する」
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- 900
- 2015/05/07(木) 04:42:18.54
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要するに、有限個の集合の個数に上限はないけど、
無限個の集合は存在しなさそうってことのようなので、
「＊個以上であれば必ず同一直線上」というアプローチにはno chanceって話。
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- 901
- 2015/05/07(木) 04:57:27.51
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任意の個数の「全ての点を通る直線は存在しないが、
全ての距離が整数」である集合の作り方の例：
nを3以上の自然数とする。
a(k)=2k，b(k)=k^2-1という2つの整数列を考え、
a(1)〜a(n-1)の最小公倍数をLとし、n個の点P_0〜P_{n-1}を
P_0(0,L)
P_k(b(k)L/a(k),0) （k=1,…,n-1）
とすれば、P_1〜P_{n-1}は全てx軸上にあるが、点P_0だけはx軸上になく、
なおかつ、任意の２点間の距離は整数。
（ピタゴラス数が無限に存在することを利用。最小公倍数を使っている時点で
この方法で無限個の集合は構築できない。）
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- 902
- 2015/05/07(木) 05:48:28.06
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a^2+b^2=c^2、a<b<c、a,b,cは整数とすると、1≦c-b=a^2/(b+c)<a^2/(2b)
つまり、b < a^2/2
三点、(0,a),(0,0),(b,0)を取って、これがピタゴラス三角形になるためには、
b < a^2/2 という条件があるため、無限にはとれない。
直線外に点を求めると、（直線との距離に依存する）上限が現れる
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- 903
- 2015/05/07(木) 06:27:59.45
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>>902
つまりそれは「全ての点の距離が整数である無限個の点の集合Sの要素のうち、
１つの直線上に無限個の点が存在して、なおかつその直線以外にも
点が存在する」ことがありえないということだと思いますが．
それだけでは、「無限個の点を含む直線は存在しないが、点自体は無限に存在する」
ような例が存在しないことの証明にはまだなっていないですよね。
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- 904
- 2015/05/07(木) 13:56:38.90
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「無限個存在する」が、もし、
「十分大きな数Nを用意し、そのNに対応する点の配置法がある」なら、
N-1個を直線上に取り、『最後』の１個を直線外に取ることにより、完成させることができるだろう。
しかし、無限個に不相当な『最後』という言葉が使われているように、「無限個存在する」の意味は
この様なことでは無いはず。
「無限個存在する」を証明するためには、
「十分多くの数が存在しているところに、新たに、何度でも加えることができる」
という動的な意味が必要。
直線上にだけ点を配置する分には、いくらでも加えることが可能だけど、
一端、直線外に点を求めると、その点と直線の距離をaとすると、
その直線上の、-a^2/2〜a^2/2 という範囲内にしか、点を求めることはできない。
精々、〜a^2 回しか追加できない。つまり、有限回。
この意味で、「無限個存在する」は否定できているとおもうが。
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- 905
- 2015/05/07(木) 16:04:30.36
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点間の距離が整数、つまり離散的ってことが重要なのかね
有理数だと例があるんだろか
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- 907
- 2015/05/07(木) 19:38:46.71
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無限という語の意味について後付の解説を始めた時点で
元の問題の表現が曖昧だったと証明されたということが
理解できていないのだろうか
本当に分かっているなら素直に不備を認めて
出題意図に沿った表現に改めるだけの話だろう
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- 908
- 2015/05/07(木) 20:21:59.06
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お前が理解できないだけ
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- 909
- 2015/05/07(木) 20:27:12.52
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いつまでもつまらねー問題といてんじゃねーよ
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- 910
- 2015/05/07(木) 20:46:21.93
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http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1686_m8.htm
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- 911
- 2015/05/07(木) 20:53:35.55
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>>904
なんでaが整数だっていえるの？
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- 912
- 2015/05/07(木) 22:46:18.59
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>>910
なるほど、エルデシュの名前を冠した定理なのか。
それにしても、佐藤郁郎氏のサイトは何でもよく集めてるなー
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- 913
- 2015/05/07(木) 23:45:29.44
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>>910
鮮やかな証明だ。感激した。
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- 914
- 2015/05/09(土) 05:43:03.75
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f : R→R
∀x, ∀y ∈R , f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y))-x)
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- 915
- 2015/05/09(土) 13:34:50.36
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>>914
fを求める問題？
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- 916
- 2015/05/09(土) 14:24:47.79
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解の１つがf(x)=xなのはわかった
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- 917
- 2015/05/09(土) 18:33:22.73
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こういう関数方程式の問題のお決まりの解法ってなんだろうな
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- 918
- 2015/05/10(日) 16:02:40.40
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>>914
2003 春合宿なら
f(f(x)+y) = 2x + f(f(y)-x)
だけど、それとは別の問題？
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- 919
- 2015/05/10(日) 16:31:57.91
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>>918
別。
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- 920
- 2015/05/10(日) 18:48:38.37
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>>914
与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x)))-x)
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
∀c∈R, 与式においてx=-c, y=0として
f(f(-c))=-2c+f(c)・・・?
また, 与式においてx=0, y=-cとして
f(-c)=f(f(f(-c)))
fは単射なので-c=f(f(-c))・・・?
?, ?より-2c+f(c)=-c
よってf(c)=c
逆にf(x)=xは与式を満たす. □
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- 921
- 2015/05/10(日) 19:17:28.97
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へー（´・ω・｀）
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- 922
- 2015/05/10(日) 19:38:46.25
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以下の条件(i), (ii)をともに満たす集合Sが存在するような正の整数nをすべて決定せよ：
条件(i)：Sは相異なるn個の正の整数からなる
(ii)：Sの任意の空でない部分集合Aに対して, Aの要素の総和は累乗数でない
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- 923
- 2015/05/11(月) 12:05:04.54
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Wikipedia「累乗数」の
＞累乗数を小さいほうからa_1=1, a_2=4, ...と並べるとき、a_{i+1}-a_iはiと共に無限大に発散すると予想されている
という予想が正しいならば、
数学的帰納法により任意の自然数nについて条件を満たす集合Sが存在することが示せるので
答えは「全ての自然数」
（その予想を使わずに示せるかどうかは知らん）
n個の要素からなる条件を満たすSに対し、その要素の総和をMとする
a_{i+1}-a_i≧M+2となるようなa_iを選び、
Sにa_i +1を追加した集合S'を作ると、S'も条件を満たす
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- 924
- 2015/05/12(火) 01:00:00.40
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>>923
もっとずっと初等的に解ける
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- 925
- 2015/05/12(火) 01:21:14.84
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そのページに書いてある「ゴールドバッハの定理」を使えば同じ証明が通用するじゃん
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- 926
- 2015/05/12(火) 03:28:34.59
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x, y, z は自然数で x≦y≦z のとき、x^y + y^z = z^x の解
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- 927
- 2015/05/12(火) 05:22:20.55
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f(x)=(logx)/xがx≧3で単調減少であること(微分で容易に証明可)と
y^z<x^y+y^z=z^x≦z^y よりy≦2
y=1のときは(x,y,z)=(1,1,2)
y=2のときはf(2)=f(4)よりz≦4 順に調べて解なし
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- 928
- 2015/05/12(火) 05:34:40.23
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>>925
もっと具体的に教えて
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- 929
- 2015/05/12(火) 06:11:02.69
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>>922
任意のnに対して
n(n+1)/2 < p をみたす十分大きい素数pをとり
S={p,2p,...,np} とする
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- 930
- 2015/05/12(火) 11:59:59.78
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ａ（１）＝ｐ（１）。
ａ（ｎ）＝ａ（ｎ−１）ｐ（ｎ−１）ｐ（ｎ）。
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- 932
- 2015/05/12(火) 17:11:21.06
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正の整数の組(a, b, c)であって,
a/b+b/c+c/a と a/c+c/b+b/a がともに整数であるようなものをすべて求めよ.
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- 933
- 2015/05/13(水) 01:19:18.79
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>>932
a=b=c（aは任意の正の整数）
しかないようですな
a,b,cのGCDをgとして、a=gA，b=gB、c=gCとおくと
A/B+B/C+C/A=m, A/C+C/B+B/A=n（m,nは整数）
これを変形して
BC^2=A(mBC-CA-B^2)
CB^2=A(nBC-AB-C^2)
これから、Aの素因数の１つpが、Aの素因数分解の中でp^iの形で現れるとすると
・pはB,Cのいずれかの素因数であるが、両方ではない。
・pがBの素因数であり、Bの素因数分解の中でp^jの形で現れるとき、j≧i
・pがCの素因数であり、Cの素因数分解の中でp^jの形で現れるとき、j≧i
となり、同様の議論を繰り返すと結局
A=yz, B=zx, C=xy（ただし、xとy，yとz，zとxはそれぞれ互いに素）となる。
これを元の式に代入して整理すると
y/x+z/y+x/z=m，z/x+y/z+x/y=nとなり
また同様の変形をすると、pがxの素因数ならばpはyまたはzの素因数となるが、これは
互いに素であることと矛盾するので、xには素因数は存在しないことになり、
結局x=y=z=1
よって、A=B=C=1，a=b=c=g
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- 934
- 2015/05/13(水) 03:37:29.99
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>>932
(x-a/b)(x-b/c)(x-c/a)は整数係数モニック多項式なのでa/b,b/c,c/aは整数すなわちa=b=c
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- 935
- 2015/05/13(水) 10:49:10.41
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(n+1)!/(2^n-1)が3で割り切れない整数となるような正の整数nを全て求めよ
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- 936
- 2015/05/13(水) 11:42:55.67
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>>934
しゅごい
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- 937
- 2015/05/13(水) 12:38:42.03
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>>935
それが人に物を頼む態度か！ああ！？
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- 938
- 2015/05/13(水) 14:47:35.70
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>>937
誠に申し訳ございませんが、(n+1)!/(2^n-1)が3で割り切れない整数となるような正の整数nを全て求めて頂けないでしょうか。 無礼な依頼であることは承知ですが、ご検討頂ければ幸いです。何卒宜しくお願い申し上げます。
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- 939
- 2015/05/14(木) 14:09:30.58
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むずかしいからダメ
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- 940
- 2015/05/14(木) 17:01:35.76
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nが3でちょうどm回割り切れるとして条件からm(またはn)の不等式を作り、それが十分大きいnで成り立たないことを示す
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