面白い問題おしえて〜な 二十問目 [sc](★0)
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- 2015/05/15(金) 16:47:53.10
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>>947
∀a, b∈R^+ (a<b), ∃s,t,u∈R^+ s.t. b-a=s+t+u
与式にx=f(a)+f(s), y=f(t)+f(u)を代入して
f(b)=f(a)+f(s)+f(t)+f(u)>f(a)
よってfは狭義単調増加, とくに単射.
∀r∈R^+, 与式にx=y=f(r)+f(r)を代入して f(4r)=4f(r) …(ア)
また, f(f(r)+f(4r))=f(f(2r)+f(3r))=5r fは単射なので f(r)+f(4r)=f(2r)+f(3r) …(イ)
同様にf(r)+f(3r)=f(2r)+f(2r) …(ウ)
(ア),(イ),(ウ)よりf(2r)=2f(r) …(エ)
∀n∈N(n≧2), f(r)+f(nr)=f(2r)+f((n-1)r) これと(エ)より
f(nr)=f(r)+f((n-1)r) よって帰納的にf(nr)=nf(r)
これより∀p,q∈Z^+, pf(1)=f(p)=f(p/q・q)=qf(p/q) すなわちf(p/q)=(p/q)f(1) …(オ)
ここで, f(1)=tとおく.与式にx=y=1を代入して(エ)を用いることでf(t)=1
fは狭義単調増加なのでt=1 よって(オ)より∀r∈Q^+, f(r)=r
∃x∈R^+, x<f(x) と仮定すると∃r∈Q^+, x<r<f(x)
fは狭義単調増加なのでf(x)<f(r)=r これは矛盾.
∃x∈R^+, x>f(x) と仮定しても同様に矛盾.
よって∀x∈R^+, f(x)=x 逆にこれは与式を満たす.
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