面白い問題おしえて〜な 二十問目 [sc](★0)
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- 2012/12/22(土) 13:17:38.28
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過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
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- 855
- 2015/04/22(水) 18:15:51.27
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B(m,n)から得られる全ての順列（円順列でない）の集合をP(m,n)
P(m,n)のうち右端が1のものの集合をQ(m,n)とするとき
Q(m+n,n)の１つの要素について、その中の0を右側から順にたどり、それより左に1が何個あるかを並べたもの の集合をX(m,n)
P(m+n,n)の１つの要素について、その中の1を右側から順にたどり、それらの順列内の場所を左端を0として表したもの の集合をY(n,m+n)
とすると、
N = #B(m+n,n) として
#X(m,n) = #Q(m+n,n) = nN
#X(n,m) = #Q(m+n,m) = mN
#Y(n,m+n) = #Y(m,n+m) = #P(m+n,n) = #P(m+n,m) = (m+n)N
となります。
で、
集合Q(m+n,n)を「円順列として同じ」という同値類に分割したときの代表元の集合がB(m+n,n)となっており、Q(m+n,n)とX(m,n)が１対１対応しているのですが、
集合X(m,n)を「別の切り口」でn個ずつの同値類に分割したときの代表元の集合がS(m,n)となるような「切り口」を探す
という方向性の方が有意義なのではないかと。
つまり、X(m,n)とB(m+n,n)の間と、X(m,n)とS(m,n)の間には、それぞれn対1の対応関係があるが、
B(m+n,n)とS(m,n)の間に意味のある１対１対応はないのではないかということです。
同様に、Y(n,m+n)とB(m+n,n)、Y(n,m+n)とT(n,m+n)の間にも、それぞれ異なる
m+n対1の対応関係があるのではないでしょうか。
（mとnが互いに素の場合は、たまたま同じ切り口でも成立しただけ、ということで。）
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- 856
- 2015/04/22(水) 18:28:09.14
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言うまでもないと思いますが
ここで定義したX(m,n)は、S(m,n)の定義から総和の条件を除いたもの、
Y(m,n)はT(m,n)の定義から総和の条件を除いたものと一致します。
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- 858
- 2015/04/24(金) 16:11:21.13
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以下の条件(1)(2)をともに満たすような正の整数からなる数列{a_n}が存在することを示せ。
(1)任意の正の整数nに対して、Σ_{k=1}^{n} {a_k}^3は平方数
(2){a_n}の階差数列は全ての項が相異なる平方数
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- 859
- 2015/04/24(金) 23:22:40.02
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a_n=F[1]^2+F[2]^2+F[3]^2+...+F[n]^2=F[n]*F[n+1]; F[1]=1,F[2]=1,F[n]=F[n-1]+F[n-2]
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- 860
- 2015/04/24(金) 23:45:20.84
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へー（´・ω・｀）
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- 861
- 2015/04/25(土) 04:22:50.58
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F[n+2]^2-F[n-1]^2
=(F[n+2]+F[n-1])*(F[n+2]-F[n-1])
=(F[n+1]+F[n]+F[n-1])*(F[n+1]+F[n]-F[n-1])=(2F[n+1])*(2F[n])=4*F[n+1]*F[n]
両辺に、(F[n+1]*F[n])^2を掛けると
(F[n+2]*F[n+1]*F[n])^2-(F[n+1]*F[n]*F[n-1])^2=4*F[n+1]^3*F[n]^3
F[0]=F[2]-F[1]=0に注意して、和を考えると、
Σ[k=1,n]F[k]*F[k+1]={F[n+2]*F[n+1]*F[n]/2}^2
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- 862
- 2015/04/25(土) 04:25:01.99
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×：Σ[k=1,n]F[k]*F[k+1]={F[n+2]*F[n+1]*F[n]/2}^2
○：Σ[k=1,n](F[k]*F[k+1])^3={F[n+2]*F[n+1]*F[n]/2}^2
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- 863
- 2015/04/26(日) 04:43:52.03
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10進法で各桁に同じ数字が2度以上現れない自然数を「プレミア数」と
呼ぶことにする. 例えば, 2015はプレミア数である.
A,B(A<B)はともに4桁のプレミア数であり, Aより大きくかつBより小さいプレミア数は存在しないという. このとき, B-Aの値が最大となるようなA,Bを全て求めよ.
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- 864
- 2015/04/26(日) 14:55:33.35
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(A,B)=(1098, 1203) (8796, 8901)
>>842はまだ締切すぎてないよね
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- 865
- 2015/04/26(日) 15:21:20.30
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>>864
何か問題が差し替わってる。関数方程式だったのに…
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- 866
- 2015/04/26(日) 15:43:35.88
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>>865
ちなみにどんな感じの問題だったの？
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- 867
- 2015/04/26(日) 15:53:57.45
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>>866
週明けに捨てるゴミ袋を漁って、計算用紙を発掘！
f : N → N
∀x、∀y ∈N、f(x + f(x)・f(y)) = (1+y)・f(y)
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- 868
- 2015/04/26(日) 15:59:38.01
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Nって正の整数？
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- 869
- 2015/04/26(日) 16:01:49.11
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すまん、Ｎは自然数全体の集合
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- 870
- 2015/04/29(水) 12:50:50.68
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だーかーらー自然数に0が入ってるんか？
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- 871
- 2015/04/29(水) 12:57:56.97
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入らないよん、ちゃん！
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- 872
- 2015/04/29(水) 13:57:04.19
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>>867
問題おかしい気がする
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- 873
- 2015/04/29(水) 16:32:39.48
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n≧2に対し、
f(n)=Π[k,1,(n-1)/2]{3+2cos(2kπ/n)}
で定義される f(n)は
f(n+2) = f(n+1) + f(n)
を満たすことを示せ
(kの上限 (n-1)/2 が半整数の時は、小数部分を切り捨てる)
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- 874
- 2015/04/29(水) 16:35:27.43
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nが整数とかいう後出しは当然なしだよな
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- 875
- 2015/04/29(水) 16:57:16.76
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申し訳ないけど、盲目的な厳密教徒は有害なので黙ってて
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- 876
- 2015/04/29(水) 20:49:17.97
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正の整数nについて√nを連分数で表したとき周期が3となるのはどういうときか。
ただしここでいう連分数とはa+1/(b+1/(c+...))の形のものでa,b,c,...は正の整数とする。
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- 877
- 2015/05/02(土) 00:34:09.35
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>>876の類題
素数pについて√pの連分数展開の周期が4となるときp+2は平方数となることを示せ。
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- 878
- 2015/05/05(火) 09:22:39.17
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結局>>841って誰も解けないの？
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- 879
- 2015/05/06(水) 00:34:58.14
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>>841
辺の長さが3,4,5の直角三角形の頂点上に
無限個の点がそれぞれ分布していれば、
題意の条件を満たすが一直線上にない。
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- 880
- 2015/05/06(水) 00:39:12.17
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>>879
一つの頂点には一つの点しか乗れないのですがそれは
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- 881
- 2015/05/06(水) 00:45:39.39
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後出しご苦労。
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- 882
- 2015/05/06(水) 00:50:06.55
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後出しも何も、「無限個の点からなる集合」という表現を見てどうして>>879の設定が出てくるんだ
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- 883
- 2015/05/06(水) 00:56:53.10
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識別を明確にしてないから、だね。残念。
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- 884
- 2015/05/06(水) 00:57:58.41
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は？
いや、何言ってんの
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- 886
- 2015/05/06(水) 01:01:26.81
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「P,Qを相異なる2点とする」という表現はよく目にするのではないかい？
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- 888
- 2015/05/06(水) 01:04:42.53
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本当に「ガチ」だったか
あのな、同じものに異なる名前を付けることが可能だから「P,Qを相異なる2点とする」という表現が必要になるんだよ
でも「無限個の点からなる集合」という表現に名前なんて出てこないからね
これ、単に「無限集合」の言い換えだよ？分かってた？
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- 889
- 2015/05/06(水) 01:05:39.29
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後出しご苦労。
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- 890
- 2015/05/06(水) 01:06:31.66
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>>889
何が後出しなのかはっきりと言ってみ？ｗ
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- 891
- 2015/05/06(水) 01:07:46.31
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惨めな抵抗、お疲れ！
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- 893
- 2015/05/06(水) 01:22:27.68
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誤解のない表現の一例としては
座標面上の無限個の相異なる点からなる集合に属する任意の2点間の距離が整数であるという。
この集合に属する全ての点はある一直線上にあることを示せ。
かな。
あ、オレにはこの解は思いついてない。
これ真かどうかも知らないが
>>879が真っ当な回答の一つであることはよ〜く分るよ。
お前も、そうは思うだろ。
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- 894
- 2015/05/06(水) 01:25:04.22
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>>841はSの任意の相異なる3点が同一直線上にあることを示せばいいんだよね
うーん
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- 896
- 2015/05/06(水) 13:15:30.42
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対偶命題を考えれば、簡単に証明できるんじゃないのか？
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- 897
- 2015/05/06(水) 15:54:06.31
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>>841
異なる2つの双曲線の共有点が高々4個であることを示せばいい
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- 898
- 2015/05/06(水) 18:53:00.95
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結論通りじゃないなら、Sはとある格子上（したがってdiscrete）
まで考えたところで酒の時間だ
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- 899
- 2015/05/07(木) 04:29:49.85
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今気付いたのだけど、 >>841 の問題って、無限の理解が曖昧だと
うっかり間違った対偶をとって偽だと言ってしまいそうで怖いな。
次の命題が偽であることはわりと簡単に証明できるのだけど。
「座標平面上のn個の点からなるある集合Sが、
Sに属する任意の２点間の距離が整数であり、
なおかつSに属するすべての点を通る直線は存在しないという条件を満たすとき、
nの値には上界が存在する」
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- 900
- 2015/05/07(木) 04:42:18.54
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要するに、有限個の集合の個数に上限はないけど、
無限個の集合は存在しなさそうってことのようなので、
「＊個以上であれば必ず同一直線上」というアプローチにはno chanceって話。
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- 901
- 2015/05/07(木) 04:57:27.51
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任意の個数の「全ての点を通る直線は存在しないが、
全ての距離が整数」である集合の作り方の例：
nを3以上の自然数とする。
a(k)=2k，b(k)=k^2-1という2つの整数列を考え、
a(1)〜a(n-1)の最小公倍数をLとし、n個の点P_0〜P_{n-1}を
P_0(0,L)
P_k(b(k)L/a(k),0) （k=1,…,n-1）
とすれば、P_1〜P_{n-1}は全てx軸上にあるが、点P_0だけはx軸上になく、
なおかつ、任意の２点間の距離は整数。
（ピタゴラス数が無限に存在することを利用。最小公倍数を使っている時点で
この方法で無限個の集合は構築できない。）
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- 902
- 2015/05/07(木) 05:48:28.06
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a^2+b^2=c^2、a<b<c、a,b,cは整数とすると、1≦c-b=a^2/(b+c)<a^2/(2b)
つまり、b < a^2/2
三点、(0,a),(0,0),(b,0)を取って、これがピタゴラス三角形になるためには、
b < a^2/2 という条件があるため、無限にはとれない。
直線外に点を求めると、（直線との距離に依存する）上限が現れる
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- 903
- 2015/05/07(木) 06:27:59.45
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>>902
つまりそれは「全ての点の距離が整数である無限個の点の集合Sの要素のうち、
１つの直線上に無限個の点が存在して、なおかつその直線以外にも
点が存在する」ことがありえないということだと思いますが．
それだけでは、「無限個の点を含む直線は存在しないが、点自体は無限に存在する」
ような例が存在しないことの証明にはまだなっていないですよね。
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- 904
- 2015/05/07(木) 13:56:38.90
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「無限個存在する」が、もし、
「十分大きな数Nを用意し、そのNに対応する点の配置法がある」なら、
N-1個を直線上に取り、『最後』の１個を直線外に取ることにより、完成させることができるだろう。
しかし、無限個に不相当な『最後』という言葉が使われているように、「無限個存在する」の意味は
この様なことでは無いはず。
「無限個存在する」を証明するためには、
「十分多くの数が存在しているところに、新たに、何度でも加えることができる」
という動的な意味が必要。
直線上にだけ点を配置する分には、いくらでも加えることが可能だけど、
一端、直線外に点を求めると、その点と直線の距離をaとすると、
その直線上の、-a^2/2〜a^2/2 という範囲内にしか、点を求めることはできない。
精々、〜a^2 回しか追加できない。つまり、有限回。
この意味で、「無限個存在する」は否定できているとおもうが。
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- 905
- 2015/05/07(木) 16:04:30.36
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点間の距離が整数、つまり離散的ってことが重要なのかね
有理数だと例があるんだろか
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